在此，快速分析電路技術(shù)（FACTs）可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴(kuò)展，以大大簡化分析。通過使用FACTs，不僅加快您的執(zhí)行速度，而且最終結(jié)果將以有序的多項(xiàng)式形式出現(xiàn)，通常無需進(jìn)一步的因子分解工作[3]、[4]。

 

本文首先介紹后文用于確定開關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個(gè)主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵(lì)您進(jìn)一步挖掘這個(gè)主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級電感轉(zhuǎn)換器（SEPIC）工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）。PWM開關(guān)[5]將用于形成小信號模型。

 

01 快速分析技術(shù)(FACTs)簡介

 

FACTs背后的基本原理在于電路時(shí)間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時(shí)在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當(dāng)激勵(lì)信號降至0時(shí)和響應(yīng)清零時(shí)。通過使用這種技術(shù)，您將體會到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀。基于這種方法的分析技術(shù)始于幾十年前，如[6]和[7]中記載的。

 

傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，它把激勵(lì)信號、激勵(lì)物，和由這種激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)信號聯(lián)系起來。如果我們考慮一個(gè)線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)無延時(shí)，具有靜態(tài)增益H0–例如開關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級-其連接控制信號Verr（激勵(lì)）和輸出Vout（響應(yīng)）的傳遞函數(shù)H可表示為：

 

（1）

 

首項(xiàng)H0是系統(tǒng)在s=0評估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項(xiàng)將帶傳遞函數(shù)的單位（或維度），如果有的話。如果響應(yīng)和激勵(lì)都用伏特表示，在此我們表示為Verr和Vout，H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。數(shù)學(xué)意義上，零點(diǎn)是函數(shù)幅值為零的根。通過FACTs，我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開這些零點(diǎn)。我們不會像通常在諧波分析（s=jw）中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負(fù)數(shù)根的整個(gè)平面。

 

因此，如果電路存在零點(diǎn)，將表現(xiàn)為當(dāng)輸入信號調(diào)到零角頻率sz時(shí)無信號的輸出響應(yīng)。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號傳播，響應(yīng)為零，盡管存在激勵(lì)源：當(dāng)變形的電路在s=sz點(diǎn)被激勵(lì)時(shí)，在信號路徑的串聯(lián)阻抗趨于無窮或分支將該激勵(lì)分流到地面。

 

請注意，這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點(diǎn)，通常無需寫一行無源電路的代數(shù)。圖1提供了簡單的流程圖，詳細(xì)介紹了過程。關(guān)于這種方法的更多細(xì)節(jié)見[8]。

 

圖1：這個(gè)簡單的流程圖將指導(dǎo)您用最簡單的方法確定零點(diǎn)。在觀察無用時(shí)，您將需要進(jìn)行雙重抵消注入或NDI。

 

翻譯參考▽

 

●   Bring the excitation signal – the stimulus – back in place：將該激勵(lì)信號 – 激勵(lì)-帶回原處

●   Null the output：將輸出清零

●   Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a ●   transformed open circuit or a transformed short circuit.：在變形的電路中找到一個(gè)或一些可阻擋激勵(lì)傳播的阻抗組合：一個(gè)變形的開路電路或變形的短路電路

●   Signal：信號

●   To response : 到響應(yīng)

●   If inspection is not possible, go for a Null Double Injection（NDI）：若觀察無用，則進(jìn)行雙重抵消注入(NDI)

 

分母D(s)由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵(lì)信號為0和確定從電路中臨時(shí)移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來得出這些時(shí)間常數(shù)。

 

通過“觀察”，您可想象把一個(gè)歐姆表置于暫時(shí)移除的儲能元件（C或L），并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個(gè)相當(dāng)簡單的運(yùn)用，正如圖2中的第二個(gè)流程圖所詳述的。

 

圖2：該流程圖解釋了用于確定電路時(shí)間常數(shù)的方法。

 

翻譯參考▽

 

●   Count energy-storing elements with independent state variables：計(jì)算具有獨(dú)立狀態(tài)變量的儲能元件

●   Assume there are two energy-storing element, L1 and C2：假設(shè)有兩個(gè)儲能元件，L1和C2

●   The denominator follow the form：分母遵循此公式

●   Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists：電容開路，電感短路，確定直流增益H0，若H0存在

●   Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2：減小激勵(lì)至零，并確定b1和b2的時(shí)間常數(shù)

●   Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited：確定驅(qū)動L1而C2 開路時(shí)的阻抗Ri

●   Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited：確定驅(qū)動C2 而L1短路時(shí)的阻抗Rj

●   Sum the time constants：將時(shí)間常數(shù)相加

●   Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited：確定驅(qū)動L1而C2 短路時(shí)的阻抗Rk

●   Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited：確定驅(qū)動C2 而L1開路時(shí)的阻抗Rl

●   Choose the simplest combination：選擇最簡單的組合

 

看到圖3，是一個(gè)涉及注入源的一階無源電路—該激勵(lì)源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號Vin通過網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。

 

圖3：確定電路的時(shí)間常數(shù)需要將激勵(lì)源設(shè)為0，并看看從電路中暫時(shí)移除的能量存儲元件所提供的電阻。

 

翻譯參考▽

 

●   The response：響應(yīng)

 

為確定本例電路的時(shí)間常數(shù)，我們將激勵(lì)源設(shè)為0（由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源），拆下電容器。然后，我們連接一個(gè)歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。

 

圖4：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。

 

翻譯參考▽

 

●   The excitation is set to 0：激勵(lì)源設(shè)為零

●   For example：例如

 

如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過R和C1即可計(jì)算得出：

 

（2）

 

我們可證明第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

 

（3）

 

現(xiàn)在，s=0時(shí)該電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開連接，會看到一個(gè)含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

 

（4）

 

輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

 

（5）

 

圖5：您斷開直流電路中的電容器，計(jì)算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。  

 

基本就是這些了，我們正錯(cuò)過零點(diǎn)。我們在前文提到，零點(diǎn)通過阻斷激勵(lì)信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，產(chǎn)生一個(gè)無信號的輸出響應(yīng)（見圖1）。

 

若我們考慮一個(gè)變形的電路–其中C1由代替–如圖6，當(dāng)激勵(lì)源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應(yīng)？無信號響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。這不是短路，而是相當(dāng)于虛擬的接地。

 

圖6：在這變形的電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為變形的短路，響應(yīng)消失，R3中無電流流過。

 

如果在R3中沒有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：

 

（6）

 

根sz是我們想要的零點(diǎn)位置：

 

（7）

 

從而有：

 

（8）

 

現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

 

（9）

 

這就是所謂的低熵表達(dá)式，從中您可立即識別靜態(tài)增益G0、極點(diǎn)wp和零點(diǎn)wz。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，如：

 

（10）

 

您不只在推導(dǎo)表達(dá)式時(shí)可能會出錯(cuò)—而且將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。另外，請注意，在這特定的例子中，在寫（9）時(shí)我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，那么很容易回到一個(gè)單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修復(fù)它。（9）的校正很簡單。現(xiàn)嘗試對（10）進(jìn)行相同的修正，您可能會從頭開始。

 

02 FACTs應(yīng)用于二階系統(tǒng)

 

FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計(jì)算狀態(tài)變量是獨(dú)立的儲能元件的數(shù)量來確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個(gè)具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示如下：

 

（11）

 

當(dāng)H0帶傳遞函數(shù)的單位，那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是時(shí)間[s]。當(dāng)a1無信號響應(yīng)，b1的激勵(lì)源為零，您將確定的時(shí)間常數(shù)相加。

 

對于二階系數(shù)，a2或b2，維度是時(shí)間的平方[s²]，你將時(shí)間常數(shù)結(jié)合為一個(gè)產(chǎn)物。然而，在這時(shí)間常數(shù)產(chǎn)物中，您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個(gè)時(shí)間常數(shù)，而二階時(shí)間常數(shù)的確定需要一個(gè)不同的符號：

 

（12）

 

在這個(gè)定義中，您設(shè)置標(biāo)號出現(xiàn)在“冪” 中的儲能元件處于高頻狀態(tài)（電容被短路，電感被開路），當(dāng)我們暫時(shí)從電路中移除二階元件端（參見下標(biāo)），您可從中確定電阻。當(dāng)a2必須為無信號的輸出和b2的激勵(lì)源減為0時(shí)，您可運(yùn)用此法。

 

當(dāng)然，當(dāng)觀察有用時(shí)，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點(diǎn)難以理解，但沒有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會明白。

 

圖7：工作于CCM的降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗的確定是一個(gè)很好的例子，演示了FACTs如何簡化分析。

 

翻譯參考▽

 

●   Voltage-mode：電壓模式

●   Small-signal mode：小信號模式

 

圖7是一個(gè)經(jīng)典的二階濾波器，用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個(gè)激勵(lì)信號Iout與響應(yīng)信號Vout的一個(gè)傳遞函數(shù)。

 

此處，Iout是我們已安裝的測試生成器，而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從（11）中確定各種系數(shù)，我們可按照圖2的流程圖，從s = 0開始：如圖所示，電感短路，電容開路。該電路是簡單的，電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡單的并列組合：

 

（13）

 

這個(gè)電路中有零點(diǎn)嗎？我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當(dāng)激勵(lì)源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時(shí)，什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。

 

圖8：如果阻抗Z1或Z2轉(zhuǎn)換為短路，響應(yīng)Vout為無信號輸出。

 

立即確定這兩個(gè)阻抗的根：

 

（14）

 

（15）

 

因此分母N(s)表示為

 

（16）

 

分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(tài)（開路）：有t1。然后看驅(qū)動C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)（短路）時(shí)的阻抗：得出t2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：

 

（17）

 

圖9：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于直流狀態(tài)時(shí)，您會得出阻抗為多少？

 

二階系數(shù)b2是用（12）中引入的符號來確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)（開路），驅(qū)動C2以得到的阻抗，C2處于高頻狀態(tài)（短路），則驅(qū)動L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。

 

您通常選擇最簡單的表達(dá)式，或避免不確定性的一個(gè)，如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對于b2的兩個(gè)定義是相同的，您看上面的是最簡單的：

 

（18）

 

現(xiàn)在我們有所有的成分來組合最終的傳遞函數(shù)，定義為：

 

（19）

 

我們已經(jīng)確定了這個(gè)傳遞函數(shù)，而沒有寫一行代數(shù)，只是拆分該電路為幾個(gè)簡單的草圖個(gè)別解決。

 

此外，正如預(yù)期的那樣，（19）已經(jīng)是一個(gè)規(guī)范的表達(dá)式，您可輕易的看到一個(gè)靜態(tài)增益、兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)可用一個(gè)諧振分量w0和一個(gè)品質(zhì)因數(shù)Q進(jìn)一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合，我們不可能得到這一結(jié)果。

 

圖10：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于高頻狀態(tài)時(shí)，您會得出阻抗為多少？

 

采用FACTs，通過觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù)，特別是對于無源電路。由于電路復(fù)雜，包括電壓或電流控制源，觀察起來沒那么明顯，您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)分析。但FACTs提供了幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：由于您將電路拆分為用于確定最終的多項(xiàng)式表達(dá)式系數(shù)的小的單個(gè)草圖，因此如果在最終的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，您總是可以回到一個(gè)特定的繪圖并個(gè)別修正。

 

此外，當(dāng)您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項(xiàng)時(shí)，您自然會得到一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)式，而不用投入進(jìn)一步的精力來收集和重新排列這些項(xiàng)。最后，如[4]所示，在復(fù)雜的無源和有源電路中，SPICE對驗(yàn)證個(gè)別極點(diǎn)和零點(diǎn)的計(jì)算有很大幫助。

 

未完待續(xù)，下周六見...

 

References

 

參考文獻(xiàn)
 

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3. V. Vorpérian, Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits, Cambridge University Press, 2002.

4. C. Basso, Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques, Wiley,  2016.

5. V. Vorpérian, Simplified Analysis of PWM Converters Using the Model of the PWM Switch, Parts I and II, Transactions on Aerospace and Electronics Systems, vol. 26, no. 3, May 1990.

6. D. Feucht, Design-Oriented Circuit Dynamics, http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics

7. D. Peter, We Can do Better: A Proven, Intuitive, Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available, so why aren''''''''t we using it to teach our Students?,

http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf

8. C. Basso, Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

9. J. Betten, Benefits of a  coupled-inductor SEPIC, slyt411, application note, Texas-Instruments.

10. C. Basso, Switch-Mode Power Supplies: SPICE Simulation and Practical Designs, McGraw-Hill, 2nd edition, 2014.

11. D. Maksimovic, R. Erickson, Advances in Averaged Switch Modeling and Simulation, Power Electronic Specialist Conference Professional Seminar, Charleston, 1999

 

作者簡介

 

Christophe Basso

 

安森美半導(dǎo)體法國圖盧茲 Technical Fellow

 

他擁有超過20年的電子電路設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項(xiàng)專利，他原創(chuàng)了許多集成電路芯片，其中代表性為NCP120X系列，它重新定義了電源低待機(jī)功耗設(shè)標(biāo)準(zhǔn)。

 

Christophe Basso出版了多部著作，《開關(guān)模式 SPICE 仿真和實(shí)用設(shè)計(jì)》深受廣大工程師的歡迎并二次改版，《為線性和開關(guān)電源設(shè)計(jì)控制回路：教程指南》為工程師設(shè)計(jì)補(bǔ)償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實(shí)用指南，《線性電路傳遞函數(shù)：介紹快速分析技術(shù)》以說教的方式，為學(xué)生和需要強(qiáng)大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對電路分析的不同角度。

 

 

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